Question

設直線l：y=5x+4是曲線C：f（x）=

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3

x3-x2+2x+m的一條切線，g（x）=ax²+2x-23．
（Ⅰ）求切點坐標及m的值；
（Ⅱ）當m∈Z時，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設直線l與曲線C相切于點P（x₀，y₀），利用導數的幾何意義可得f′（x₀）=5即可解得切點的橫坐標x₀，進而得到切點坐標及m的值；
（Ⅱ）解法一：由m∈Z，可得m=13，設h（x）=f（x）-g（x），則存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用導數和分類討論即可得出
解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，
（ⅰ）當x≠0時，通過分離參數可得：a≥

1

3

x+

36

x2

-1，設h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1，則存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤a，利用導數即可得出；
（ⅱ）當x=0時，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，可知：a不存在．

解答：解：（Ⅰ）設直線l與曲線C相切于點P（x₀，y₀），
∵f'（x）=x²-2x+2，∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
當x₀=-1時，y₀=-1，∵P（-1，-1）在曲線C上，∴m=

7

3

，
當x₀=3時，y₀=19，∵P（3，19）在曲線C上，∴m=13，
∴切點P（-1，-1），m=

7

3

，
切點P（3，19），m=13．       
（Ⅱ）解法一：∵m∈Z，∴m=13，
設h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+36，
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤0，
h'（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
（ⅰ）若1+a≥0即a≥-1，令h'（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函數，
令h'（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），
∴h（x）在[0，2（1+a）]上是減函數，∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
（ⅱ）若1+a＜0即a＜-1，令h'（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（0，+∞）上是增函數，∴h（x）_min=h（0），
令h（0）≤0，不等式無解，∴a不存在，
綜合（�。�（ⅱ）得，實數a的取值范圍為[2，+∞）．
解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，
（�。┊攛≠0時，a≥

1

3

x+

36

x2

-1，設h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤a，
h′(x)=

1

3

-

72

x3

=

x3-63

3x3

，
令h'（x）≥0解得x≥6，∴h（x）在[6+∞）上是增函數，
令h'（x）＜0，解得0＜x＜6，∴h（x）在（0，6）上是減函數，
∴h（x）_min=h（6）=2，∴a≥2，
（ⅱ）當x=0時，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，
∴a不存在，
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，實數a的取值范圍為[2，+∞）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、導數的幾何意義、把問題等價轉化等是解題的關鍵．