Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列．
（1）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=

 

．
（2）若該數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n，則S₁₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：函數(shù)y=f（x）與y=x-1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的零點(diǎn)按從小到大的順序?yàn)?，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）-x+1的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，可得數(shù)列通項(xiàng)公式．

解答： 解：當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）-x+1=x，故a₁=0
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，有-1＜x-1≤0，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-1+1=2x-2，g（x）=f（x）-x+1=x-1，故a₂=1；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-2+1=2x-3，g（x）=f（x）-x+1=x-2，故a₃=2；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-3+1=2x-4，g（x）=f（x）-x+1=x-3，故a₄=3；
…
以此類推，當(dāng)n＜x≤n+1（其中n∈N）時(shí)，則f（x）=n+1．
故數(shù)列的前n項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以0為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
故S₁₀=

10×(10-1)

2

=45
故答案分別為：2x-2，45．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、“分類討論”方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．