Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且滿足f（1-x）=f（1+x）（x∈R）．記I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知當(dāng)x∈I_°時，f（x）=x²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)k∈N^*，M_k表示使方程f（x）=ax在x∈I_k上有兩個不相等實根的a的取值集合．
①求M₁；②求M_k．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x）?f（x+2）=f（-x）=f（x），得f（x）是以2為周x∈I_k期的函數(shù)，從而求出f（x）的解析式；
（2）．①設(shè)x∈I₁，則 x-2∈I₀，得方程f（x）=ax可化為：x²-（4+a）x+4=0x∈（1，3]（*）則：

△=a(a+8)＞0 1＜ 4+a 2 ＜3 g1(1)=1-a＞0 g1(3)=1-3a≥0

；解出即可；
②當(dāng)k∈N^*且x∈I_k時，方程f（x）=ax化為x²-（4k+a）x+4k²=0，令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²則

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ＜2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，解出即可．

解答： 解：（1）因為f（1-x）=f（1+x）?f（x+2）=f（-x）=f（x）
所以  f（x）是以2為周x∈I_k期的函數(shù)，
∴f（x-2k）=f（x），（k∈Z），
當(dāng)時，（x-2k）∈I_°，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，
∴f（x）的解析式為：∴f（x）=（x-2k）²，x∈I_K．
（2）．①設(shè)x∈I₁，則 x-2∈I₀，∴f（x）=f（x-2）=（x-2）²，
方程f（x）=ax可化為：x²-（4+a）x+4=0x∈（1，3]（*）
令g1(x)=x2-(4+a)x+4方程（*）在x∈（1，3]上有兩相異實根，
則：

△=a(a+8)＞0 1＜ 4+a 2 ＜3 g1(1)=1-a＞0 g1(3)=1-3a≥0

；
⇒a∈（0，

1

3

]，∴M₁=（0，

1

3

]．
②當(dāng)k∈N^*且x∈I_k時，方程f（x）=ax化為x²-（4k+a）x+4k²=0，
令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²…（10分）
使方程f（x）=ax在I_K上有兩個不相等的實數(shù)根，
則

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ＜2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，
即

a＞0或a＜-8k -2＜a＜2 a＜ 1 2k-1 a≤ 1 2k+1

，
∴0＜a≤

1

2k+1

，
∴M_K={a|0＜a≤

1

2k+1

}．

點評：本題考查了函數(shù)的零點和方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的解析式的求法，本題屬于中檔題．