Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）若對(duì)任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f'（x）=3x²+2ax+b，由題意可得f（1）=10，f′（1）=0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)存在的條件可求
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)F（a）=2xa+3x²+b≥0對(duì)任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得F（a）_min=F（-4）從而有b≥（-3x²+8x）_max，
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x²-2ax對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x²-2ax）_max．構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解函數(shù)F（x）的最大值
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+bk*s*5*u
則…（5分）
當(dāng)時(shí)，f'（x）=3x²+8x-11，△=64+132＞0，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；
當(dāng)，所以函數(shù)無極值點(diǎn)；
則b的值為-11．…（7分）
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
則F（a）=2xa+3x²+b≥0對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立∵x≥0，F(xiàn)（a）在a∈[-4，+∞）單調(diào)遞增或?yàn)槌��?shù)函數(shù)
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0對(duì)任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又，當(dāng)時(shí)，得，所以 b的最小值為． …（15分）
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax對(duì)任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令
①當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）_max=0，∴b≥0；
②當(dāng)．
又∵，∴．
綜上，b的最小值為．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用構(gòu)造函數(shù)的思想把恒成立轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，要注意構(gòu)造思想在解題中的應(yīng)用．