【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，點,分別是,的中點.

（1）求證：平面；

（2）若點為棱上一點，且平面平面， 求證：

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）利用平面法向量和直線的方向向量垂直可得；

（2）先利用平面平面，確定M的位置，再證明垂直.

平面，平面

平面，平面

又因為所以，則兩兩垂直，則以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系

則各點的坐標為

因為點分別是，的中點，所以

（1）證明：設(shè)平面的一個法向量為

因為

由得，令所以

則

因為所以

又平面所以平面.

（2）證明：因為為棱上一點，所以

設(shè)則，所以

即所以

設(shè)平面的一個法向量為則

所以消去可得

令則所以

平面平面 則所以

從而因為所以

則即

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面， ， ， ， ， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù)，我國的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（ ）

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年寒假期間新冠肺炎肆虐，全國人民眾志成城抗疫情.某市要求全體市民在家隔離，同時決定全市所有學(xué)校推遲開學(xué).某區(qū)教育局為了讓學(xué)生“停課不停學(xué)”，要求學(xué)校各科老師每天在網(wǎng)上授課輔導(dǎo)，每天共200分鐘.教育局為了了解高三學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習情況，上課幾天后在全區(qū)高三學(xué)生中采取隨機抽樣的方法抽取了80名學(xué)生（其中男女生恰好各占一半）進行問卷調(diào)查，按男女生分為兩組，再將每組學(xué)生在線學(xué)習時間（分鐘）分為5組，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.全區(qū)高三學(xué)生有3000人（男女生人數(shù)大致相等），以頻率估計概率回答下列問題：

（1）估計全區(qū)高三學(xué)生中網(wǎng)上學(xué)習時間不超過40分鐘的人數(shù)；

（2）在調(diào)查的80名高三學(xué)生且學(xué)習時間不超過40分鐘的學(xué)生中，男女生按分層抽樣的方法抽取6人.若從這6人中隨機抽取2人進行電話訪談，求至少抽到1名男生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設(shè)一倉庫，設(shè)，并在公路北側(cè)建造邊長為的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1，且.

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；

（2）如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問：取何值時，該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價M最低.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2022年第24屆冬奧會將在北京舉行。為了推動我國冰雪運動的發(fā)展,京西某區(qū)興建了“騰越”冰雪運動基地。通過對來“騰越”參加冰雪運動的100員運動員隨機抽樣調(diào)查，他們的身份分布如下： 注:將表中頻率視為概率。

身份

小學(xué)生

初中生

高中生

大學(xué)生

職工

合計

人數(shù)

40

20

10

20

10

100

對10名高中生又進行了詳細分類如下表：

年級

高一

高二

高三

合計

人數(shù)

4

4

2

10

(1)求來“騰越”參加冰雪運動的人員中高中生的概率；

(2)根據(jù)統(tǒng)計，春節(jié)當天來“騰越”參加冰雪運動的人員中，小學(xué)生是340人，估計高中生是多少人？

（3）在上表10名高中生中，從高二，高三6名學(xué)生中隨機選出2人進行情況調(diào)查，至少有一名高三學(xué)生的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點E，F，G分別為棱AB，AA1，C1D1的中點．下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是______．

①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②B1D1∥平面EFG；

③BD1⊥平面ACB1；

④異面直線EF與BD1所成角的正切值為；

⑤四面體ACB1D1的體積等于a3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： ，其中， 為左、右焦點，且離心率，直線與橢圓交于兩不同點， .當直線過橢圓右焦點且傾斜角為時，原點到直線的距離為.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，當面積為時，求的最大值.

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