Question

如圖，多面體OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2

3

，AC=BD=

10

，且OA，OB，OC兩兩垂直，給出下列 5個(gè)結(jié)論：
①三棱錐O-ABC的體積是定值；
②球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)的球的直徑是

13

；
③直線OB∥平面ACD；
④直線AD與OB所成角是60°；
⑤二面角A-OC-D等于30°．
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意，只要構(gòu)造長(zhǎng)方體，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，則x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，運(yùn)用棱錐的體積公式，即可判斷①；運(yùn)用異面直線所成角的定義，即可判斷②；球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可判斷③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判斷④．

解答： 解：由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如右圖，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，
則x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，
對(duì)于①，三棱錐O-ABC的體積為

1

3

OC×

1

2

OA×OB=

3

2

，故①對(duì)；
對(duì)于②，球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
即為

12+32+( 3 )2

=

13

，故②對(duì)；
對(duì)于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，則OB和平面ACD相交，故③錯(cuò)．
對(duì)于④，由于OB∥AE，則∠DAE即為直線AD與OB所成的角，
由tan∠DAE=

DE

AE

=

3

，則∠DAE=60°，故④對(duì)；
⑤因?yàn)锳O⊥OC，DC⊥OC，所以異面直線CD與OA所成的角大小為二面角A-OC-D的二面角大小，連接OE，則角AOE為所求，tan∠AOE=

AE

OA

=

3

，所以∠AOE=60°；⑤錯(cuò)誤；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面的位置關(guān)系的判斷，空間異面直線所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算和多面體的外接球的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．