Question

已知函數(shù)f₁(x)=3^|x-p₁|，f₂(x)=2·3^|x-p₂|（x∈R，p₁，p₂為常數(shù)），函數(shù)f(x)定義為：對每個給定的實數(shù)x，，
(Ⅰ)求f(x)=f₁(x)對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
(Ⅱ)設a，b是兩個實數(shù)，滿足a＜b，且p₁，p₂∈(a，b)．若f(a)=f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m）。

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(x)的定義可知，f(x)=f₁(x)（對所有實數(shù)x）等價于f₁(x)≤f₂(x)（對所有實數(shù)x），
這又等價于3^|x-p₁|≤2·3^|x-p₂|，即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2對所有實數(shù)x均成立，（*）
易知函數(shù)|x-p₁|-|x-p₂|(x∈R)的最大值為|p₂-p₁| ，
故（*）等價于3^|p₂-p₁|≤2，即|p₂-p₁|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件．
(Ⅱ)分兩種情形討論．
(ⅰ)當|p₁-p₂|≤log₃2時，由(Ⅰ)知f(x)=f₁(x)（對所有實數(shù)x∈[a，b]），
則由f(a)=f(b)及a＜p₁＜b易知，
再由的單調(diào)性可知，
f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度為，如下圖，

(ⅱ)當|p₁-p₂|＞log₃2時，不妨設p₁＜p₂，則p₂-p₁＞log₃2，
于是，當x≤p₁時，有f₁(x)=3^p₁-x＜3^p₂-x＜f₂(x)，從而f(x)=f₁(x)；
當x≥p₂時，f₁(x)=3^x-p₁=3^p₂-p₁·3^x-p₂＞3^log₃2·3^x-p₂=f₂(x)，從而f(x)=f₂(x)；
當p₁＜x＜p₂時，f₁(x)=3^x-p₁及f2(x)=2·3^p₂-x，
由方程3^x₀-p₁=2·3^p₂-x₀，
解得f₁(x)與f₂(x)圖象交點的橫坐標為，①
顯然，
這表明x₀在p₁與p₂之間，
由①易知；
綜上可知，在區(qū)間[a，b]上， 如下圖所示，

故由函數(shù)f₁(x)與f₂(x)的單調(diào)性可知，f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f(a)=f(b)，即3^p₁-a=2·3^b-p₂，得 p₁+p₂=a+b+log₃2，②
故由①、②得；
綜合(ⅰ)、(ⅱ)可知，f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為。