Question

已知直線(xiàn)l與x+y+2=0垂直，且在y軸上的截距為-4．
（1）求直線(xiàn)l的一般式方程；
（2）求與直線(xiàn)l距離為

2

的直線(xiàn)的一般式方程；
（3）是否存在以點(diǎn)C（1，-2）為圓心的圓，使得以圓C截直線(xiàn)l所得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？若存在，求出圓C的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）由已知得k_l=1，由此能求出直線(xiàn)l的方程．
（2）設(shè)與直線(xiàn)l距離為

2

的直線(xiàn)的一般式方程為x-y+c=0，則

|c+4|

2

=

2

，由此能求出直線(xiàn)方程．
（3）假設(shè)存在圓．設(shè)圓C：（x-1）²+（y+2）²=r²，由已知得

(x-1)2+(x+2)2=r2 x-y-4=0

，得2x²-6x+5-r²=0，由此結(jié)合已知條件能求出圓的方程．

解答： 解：（1）∵直線(xiàn)l與x+y+2=0垂直，∴k_l=1，
∵直線(xiàn)l在y軸上的截距為-4，
∴直線(xiàn)l的方程為：y=x-4，整理得x-y-4=0．
（2）設(shè)與直線(xiàn)l距離為

2

的直線(xiàn)的一般式方程為x-y+c=0，
則

|c+4|

2

=

2

，解得c=6，或c=2，
∴直線(xiàn)方程為x-y-2=0或x-y-6=0．
（3）假設(shè)存在圓．
設(shè)圓C：（x-1）²+（y+2）²=r²，
由已知得

(x-1)2+(x+2)2=r2 x-y-4=0

，
整理，得2x²-6x+5-r²=0，
由△＞0，得r2＞

1

2

，
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則x1+x2=3，x1x2=

5-r2

2

，
由題意得k₁k₂=-1，整理，得y₁y₂+x₁x₂=0，
代入上式，得：（x₁-4）（x₂-4）+x₁x₂=0，
得（5-r²）+4=0，解得r²=9，
故存在圓C：（x-1）²+（y+2）²=9滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程的求法，考查圓的方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．