Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的中心和上焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的最大值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、6
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用橢圓的參數(shù)方程與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：由橢圓

x2

3

+

y2

4

=1可得a=2，b²=3，c=

a2-b2

=1．
∵點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的中心和上焦點(diǎn)，
∴O（0，0），F(xiàn)（0，1）．
設(shè)P(

3

cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π）．
則

OP

•

FP

=(

3

cosθ，2sinθ)•(

3

cosθ，2sinθ-1)
=3cos²θ+4sin²θ-2sinθ
=（sinθ-1）²+2≤6．
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-1時(shí)取等號．
∴

OP

•

FP

的最大值為6．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的參數(shù)方程與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．