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在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求直線DE與平面CEM所成角的正切值．
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（1）證明：因為AC=BC，M是AB的中點，
所以CM⊥AB．   …（2分）
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EA     …（4分）
因為AB∩EA=A
所以CM⊥平面EAB．
所以CM⊥EM．   …（7分）
（2）連結MD，
設EA=a，BD=BC=AC=2a，
在直角梯形ABDE中，AB=2
2
a，M是AB的中點，
所以DE=3a，EM=
3
a，DM=
6
a，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，…（10分）
又因為DM⊥CM，EM∩CM=M，
所以DM⊥平面CEM
所以∠DEM是直線DE和平面CEM所成的角．…（12分）
在Rt△DEM中，tan∠DEM=
DM
EM
=
6
a
3
a
=
2
，
故直線DE與平面CEM所成角的正切值為
2
．…（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABGF；
（Ⅱ）求二面角G-CE-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，平行四邊形ABCD的頂點都在以AC為直徑的圓O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=
2
a，DP∥AM，且AM=
1
2
DP，E，F分別為BP，CP的中點．
（I）證明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱錐M-ABP的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•朝陽區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，BC=
13
，且M是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一點P，使得∠CPD最大？若存在，請求出∠CPD的正切值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點． 
（1）求證：CM⊥平面ABDE；
（2）求幾何體的體積．

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