Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1，滿足f[f（a）]=

1

2

的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為

8

個(gè)．

Answer 1

分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

，轉(zhuǎn)化為f（x）=

1

2

．先解f（x）=

1

2

在x≥0時(shí)的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=

1

2

在x＜0時(shí)的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答：解：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

，變形為f（x）=

1

2

；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1=

1

2

，解得x₁=1+

2

2

，x₂=1-

2

2

；
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

1

2

的解為x₃=-1-

2

2

，x₄=-1+

2

2

；
綜上所述，f（a）=1+

2

2

或1-

2

2

或-1-

2

2

或-1+

2

2

．
當(dāng)a≥0時(shí)，
f（a）=-（a-1）²+1=1+

2

2

，方程無解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-

2

2

，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-

2

2

，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+

2

2

，方程有1解；
故當(dāng)a≥0時(shí)，方程f（a）=x有4解，
由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=

1

2

的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個(gè)數(shù)問題，同時(shí)運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力要求較高，是高考的熱點(diǎn)問題．