Question

如圖某一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，BQ=BR，點S、D、A、Q共線及P、D、C、R共線．
（Ⅰ）沿圖中虛線將它們折疊起來，使P、Q、R、S四點重合為點P，請畫出其直觀圖；并求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）若M是AD的中點，N是PB的中點，求證：MN⊥面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意將圖形折疊起來，畫其直觀圖為一個有一條側棱垂直于底面的四棱錐，然后利用棱錐的體積公式可求得其體積．（Ⅱ）取PC中點E，連接DE，NE，利用平行關系可得MN∥DE，要證MN⊥面PBC，先證DE⊥面PBC，然后利用線面垂直的性質定理，可證得MN⊥面PBC．

解答：解：（Ⅰ）它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐
（注：評分注意實線、虛線；垂直關系；長度比例等）PD⊥AD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，則V_P-ABCD=

1

3

×6×6×6=72

（Ⅱ）取PC中點E，連接DE，NE
△PBC中，PN=NB，
∴NE∥BC，且NE=

1

2

BC，
在正方形ABCD中，MD∥BC，且MD=

1

2

BC，
∴NE∥MD，且NE=MD
∴四邊形MNED為平行四邊形
∴MN∥DE
在RT△PDC中，PD=DC
∴DE⊥PC
又∵PD⊥面ABCD，BC?面ABCD
∴PD⊥BC
又∵BC⊥DC
∴BC⊥面PDC
又∵DE?面PDC
∴BC⊥DE
∴DE⊥面PBC
∵MN∥DE
∴MN⊥面PBC

點評：本小題主要考查空間線面關系，幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是個中檔題．