Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

2a

x

（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處，且垂直于直線x-14y+13=0的切線方程，并求此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤a²-2a+4對任意的x∈[1，2]恒成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=2-2a=-14，解得a=8，以及切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程；再把a(bǔ)=8代入其導(dǎo)函數(shù)即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再利用分類討論思想得到其在[1，2]上的單調(diào)性進(jìn)而求出其最大值，最后再把問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max≤a²-2a+4，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+

2a

x

，
∴f′（x）=2x-

2a

x2

，
根據(jù)題意有f′（1）=2-2a=-14，解得a=8，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，17），故所求的切線方程是y-17=-14（x-1），即14x+y-31=0．
當(dāng)a=8時(shí)，f′（x）=2x-

16

x2

=

2(x3-8)

x2

．
令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得x＜2且x≠0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（0，2）．
（2）由（1）知f′（x）=2x-

2a

x2

=

2(x3-a)

x2

．
①若a≤1，則f′（x）＞0在區(qū)間（1，2]上恒成立，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=4+a；
②若1＜a＜8，則在區(qū)間（1，a）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，2）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（1），f（2）中的較大者，f（1）-f（2）=1+2a-4-a=a-3，
故當(dāng)1＜a≤3時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）=4+a，當(dāng)3＜a＜8時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=1+2a；
③當(dāng)a≥8時(shí)，f′（x）＜0在區(qū)間[1，2）上恒成立，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=1+2a．
綜上可知，在區(qū)間[1，2]上，當(dāng)a≤3時(shí)，f（x）_max=4+a；當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）_max=1+2a．
不等式f（x）≤a²-2a+4對任意的x∈[1，2]恒成立等價(jià)于在區(qū)間[1，2]上，f（x）_max≤a²-2a+4，
故當(dāng)a≤3時(shí)，4+a≤a²-2a+4，即a²-3a≥0，解得a≤0或a=3；
當(dāng)a＞3時(shí)，1+2a≤a²-2a+4，即a²-4a+3≥0，解得a＞3．
故a的取值范圍是（-∞，0]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，是對導(dǎo)數(shù)知識的綜合考查，也是高考常考題型．