Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)f（x）=-x³+ax²-2．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)的傾斜角為

π

4

，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)的斜率等于1，建立關(guān)于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再討論滿(mǎn)足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而來(lái)確定極值點(diǎn)，通過(guò)比較極值與端點(diǎn)的大小從而確定出最值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²-2
∴f'（x）=-3x²+2ax
由題意得f′(1)=-3+2a=tan

π

4

=1
∴a=2
（2）由（1）得：f（x）=-x³+2x²-2，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

），
令f'（x）＜0，并且函數(shù)的定義域?yàn)椋篬-1，2]
所以則有f(x)在[-1，0]和[

4

3

，1]遞減；f(x)在[0，

4

3

]遞增
又有f(-1)=1；f(0)=-2；f(

4

3

)=-

22

27

；f(2)=-2
∴f（x）在[-1，2]的最小值為f（0）=f（2）=-2，最大值為f（-1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)高考新增內(nèi)容，是常考的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．