Question

已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0，），直線l與橢圓C交于 A 、B 兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)與另一焦點(diǎn)圍成的三角形周長(zhǎng)為。
（1）求橢圓C的方程
（2）過左焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點(diǎn)，
（O坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線m的方程

Answer 1

（1）                 （2）   

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用。利用橢圓的幾何性質(zhì)，來表示得到a,b,c的值，從而解得方程，然后設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理，運(yùn)用代數(shù)的方法來表示坐標(biāo)，同時(shí)借助于題目中向量的關(guān)系式，得到坐標(biāo)的關(guān)系，消去坐標(biāo)，得參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到。解：（1）  
直線與x軸交點(diǎn)即為橢圓的右焦點(diǎn)  ∴c=2
由已知⊿周長(zhǎng)為，則4a=，即，所以
故橢圓方程為                  
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為，則直線m的方程可設(shè)為
代入橢圓方程得：
設(shè)    
∵
所以，，即  
又
原點(diǎn)O到m的距離，則
解得