Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d＞0，數(shù)列{b_n}是公比為q等比數(shù)列，且b₁=a₁＞0．
（1）若a₃=b₃，a₇=b₅，探究使得a_n=b_m成立時(shí)n與m的關(guān)系；
（2）若a₂=b₂，求證：當(dāng)n＞2時(shí)，a_n＜b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）記a₁=b₁=a，由已知條件得，解得a=2d，q=，由此可以推出a_n=b_m．
（2）由題意知，所以，a_n-b_n=a+（n-1）d-aq^n-1，由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)n＞2時(shí)，a_n＜b_n．
解答：解：（1）設(shè)a₁=b₁=a，（由已知得，a=2d，q=，由題設(shè)條件知，a_n=b_m．
則a+（n-1）d=aq^m-1，即，所以．
（2）因?yàn)閐＞0，a＞0，所以，（11分）
n＞2時(shí)，a_n-b_n=a+（n-1）d-aq^n-1=a（1-q^n-1）-（n-1）d
=a（1-q）（1+q+q²++q^n-2）+（n-1）d＜a（1-q）（n-1）+（n-1）d
=（（n-1）[a（1-q）+d]=（n-1）（a₂-b₂）=0
所以，當(dāng)n＞2時(shí)，a_n＜b_n．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．