Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND． （Ⅰ）求證：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°， ∴AH⊥BC，又BC∥AD，
∴AD⊥AH．
取BC的中點H，以A為原點，以AD，AH，AS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：
則D（4，0，0），M（0，0，1），S（0，0，4），B（﹣2，2 ，0），C（2，2 ，0）．
∴ =（2，﹣2 ，0）， =（﹣4，0，4）， =（﹣6，2 ，0）， =（﹣4，0，1），
∴ = =（﹣ ，0， ）， = =（ ，﹣2 ， ），
設(shè)平面BDM的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1得 =（1， ，4）．
∴ = ﹣2 × + =0．
又∵CN平面BDM，
∴CN∥平面BDM．
（II） =﹣4+0+16=12，
| |= =4 ，| |= =2 ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直線SD與平面BDM所成的角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中點H，以A為原點，以AD，AH，AS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出 和平面BDM的法向量 的坐標(biāo)，利用數(shù)量積證明 ⊥ 即可得出結(jié)論；（Ⅱ）通過計算cos＜ ， ＞即可得出直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．