Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥2a²．

Answer 1

【答案】分析：（1）分a=0和a≠0兩種情況，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷其奇偶性．
（2）將不等式的絕對值去掉，等價(jià)轉(zhuǎn)化為2個(gè)不等式組，分a=0、a＞0、a＜0三種情況來解不等式組，最后將得到的解集取并集．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，
f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0且f（-a）=-2a|a|．
故f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a）．
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）由題設(shè)知x|x-a|≥2a²，
∴原不等式等價(jià)于①
或②
由①得x∈∅．
由②得
當(dāng)a=0時(shí)，x≥0．
當(dāng)a＞0時(shí)，
∴x≥2a．
當(dāng)a＜0時(shí)，
即x≥-a．
綜上
a≥0時(shí)，f（x）≥2a²的解集為{x|x≥2a}；
a＜0時(shí)，f（x）≥2a²的解集為{x|x≥-a}．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性、絕對值不等式的解法．