Question

24、f（x）是定義在（-∞，-5]∪[5，+∞）上的奇函數，且f（x）在[5，+∞）上單調遞減，試判斷f（x）在（-∞，-5]上的單調性，并用定義給予證明．

Answer 1

分析：由奇函數的性質，在對稱區(qū)間上單調性相同，知f（x）在（-∞，-5]上是減函數，再用定義法證明，定義法證明單調性的步驟：任取區(qū)間上兩個自變量，作差，整理成幾個因子的成績，判斷差的符號，得出結論，證明本題時沿用此五步書寫證明步驟．

解答：解：奇函數在對稱的區(qū)間上單調性相同，
f（x）在[5，+∞）上單調遞減，
故f（x）在（-∞，-5]上是減函數，
證明如下：
任取x₁＜x₂≤-5，則-x₁＞-x₂≥5．
因f（x）在[5，+∞]上單調遞減，
所以f（-x₁）＜f（-x₂）
又函數是奇函數，故有-f（x₁）＜-f（x₂即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-5]上單調減函數．

點評：本題考點奇偶性與單調性的綜合，作為一個判斷證明題，求解題時要注意做題的格式，先判斷，再證明．本題中用定義法證明過程中獲知f（x₁）＞f（x₂）的方法是由函數的性質變形得到的，此是本題用定義法證明時與一般題過程中稍有不同的地方，請從抽象函數的角度考慮一下不同的原因．