Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中點，O為AC與BD的交點．
（1）求證：平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）求證：平面BDF⊥平面A₁AO；
（3）求證：EG⊥AC．

Answer 1

證明：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中點，∴B₁D₁∥BD．
∵BD?平面BDF，而B₁D₁不在平面BDF 內(nèi)，∴B₁D₁∥平面BDF．
取DD₁的中點N，則 AH∥D₁N 且AH=D₁N，故AHND₁為平行四邊形，∴HD₁∥AN．
同理可證 BF∥AN，故HD₁∥BF．
∵BF?平面BDF，而HD₁不在平面BDF 內(nèi)，∴HD₁∥平面BDF．
這樣，在平面平面B₁D₁H 內(nèi)有兩條相交直線B₁D₁和HD₁都和平面BDF平行，
∴平面BDF∥平面B₁D₁H．
（2）∵O為AC與BD的交點，∴BD⊥AO．再由A₁A⊥平面ABCD可得 A₁A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A₁AO中的兩條相交直線AO和A₁A，∴BD⊥平面A₁AO．
而BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面A₁AO．
（3）取CD的中點M，連接EM，GM，則EM是△CBD的中位線，∴EM∥BD，由AC⊥BD 可得 EM⊥AC．
由GM和棱A₁A平行可得GM⊥平面ABCD，GM⊥AC．
這樣，AC垂直于平面EGM中的兩條相交直線EM、GM，∴AC⊥平面EGM，∴AC⊥EG．