Question

已知（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

3-2n

2

a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，可得

1

3

=a1，解得a=

1

3

．由于等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，可得a₁，a₂，a₃．利用

a

2 2

=a1a3，解得c=1．即可得出a_n．
（2）b_n=

3-2n

2

a_n=（2n-3）×

1

3n

．l利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）∵（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，
∴

1

3

=a1，解得a=

1

3

．
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，f(2)-c=

1

9

-c，f（3）-c=

1

27

-c．
∴a₂=f（2）-c-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=f（3）-c-[f（2）-c]=-

2

27

．
∴

a

2 2

=a1a3，
∴(-

2

9

)2=(

1

3

-c)×(-

2

27

)，
解得c=1．
∴a₁=-

2

3

，q=

a2

a1

=

1

3

．
∴a_n=-

2

3

×(

1

3

)n-1=-2×(

1

3

)n．
（2）b_n=

3-2n

2

a_n=（2n-3）×

1

3n

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-

1

3

+

1

32

+3×

1

33

+…+

2n-3

3n

，

1

3

Tn=-

1

32

+

1

33

+…+

2n-5

3n

+

2n-3

3n+1

，
∴

2

3

Tn=-

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-3

3n+1

=-1+

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n-3

3n+1

=-

1

3n

-

2n-3

3n+1

，
∴T_n=

-n

3n

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．