如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB上,N在AD上,且對角線MN過C點,已知AB=4米,AD=3米,設(shè)AN的長為x米(x>3).
(1)要使矩形AMPN的面積大于54平方米,則AN的長應在什么范圍內(nèi)?
(2)求當AM、AN的長度是多少時,矩形花壇AMPN的面積最。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.
分析:(1)求出矩形AMPN的長與寬,計算其面積,利用面積大于54平方米,建立不等式,即可求得AN的長的范圍;
(2)利用換元法,再利用基本不等式,即可求得面積的最小值.
解答:解:設(shè)AN的長為x米(x>3)
∵ABCD是矩形,∴
|DN|
|AN|
=
|DC|
|AM|
,∴|AM|=
4x
x-3

∴SAMPN=|AN|•|AM|=
4x2
x-3
 (x>3)----------(4分)
(1)由SAMPN>54,得 
4x2
x-3
>54,
∵x>3,∴(2x-9)(x-9)>0
∴3<x<
9
2
或x>9
∴AN長的取值范圍是(3,
9
2
)∪(9,+∞
)-----------(8分)
(2)令y=
4x2
x-3
,令t=x-3(t>0)),則x=t+3----------(10分)
∴y=
4(t+3)2
t
=4(t+
9
t
+6)
≥48
當且僅當t=
9
t
(t>0),即t=3時取等號.----------(14分)
此時AN=6,AM=8,最小面積為48平方米.----------(16分)
點評:本題考查矩形面積的計算,考查解不等式,考查基本不等式的運用,解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)試將表示為的函數(shù);

(2)問應該如何設(shè)計矩形地塊的邊長,使花圃占地面積取得最大值.

 

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