Question

如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求四面體BDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AC⊥平面BDE，只需證明AC垂直平面BDE中的兩條相交直線即可，因?yàn)锳C與BD是正方形ABCD的對(duì)角線，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而B(niǎo)D，DE是平面BDE中的兩條相交直線，問(wèn)題得證．
（Ⅱ）欲證AC∥平面BEF，只需證明AC平行平面BEF中的一條直線即可，利用中位線的性質(zhì)證明OG平行DE且等于DE的一半，根據(jù)已知AF平行DE且等于DE的一半，所以O(shè)G與AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG為平面BEF中的一條直線，問(wèn)題得證．
（Ⅲ）四面體BDEF可以看做以△DEF為底面，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的三棱錐，底面三角形DEF的底邊DE=2，高DA=2，三棱錐的高為AB，長(zhǎng)度等于2，再代入三棱錐的體積公式即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面BDE
（Ⅱ）證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，∵OG為△BDE的中位線
∴OG
∵AF∥DE，DE=2AF，∴AFOG，
∴四邊形AFGO是平行四邊形，
∴FG∥AO．
∵FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（Ⅲ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF．
∵AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，
∴△DEF的面積為，
∴四面體BDEF的體積==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在空間幾何體中證明線面垂直，線面平行，計(jì)算三棱錐的體積，綜合考查了學(xué)生的識(shí)圖能力，空間想象力，計(jì)算能力．