【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上任意點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離是，過直線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：、、三點(diǎn)共線；

(3)求面積的最大值.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理證明即可證得題中的結(jié)論.

(Ⅲ)由題意可得的面積，結(jié)合均值不等式的結(jié)論確定面積的最大值即可.

(Ⅰ)由題意可得：，解得：，

故橢圓的離心率為：.

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的橢圓方程可得：，故，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程：可得：

.

直線與橢圓相交，則：，

解得：或.

設(shè)，，

則：,

故：

將代入上式可得：，

故三點(diǎn)共線；

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論可得：

的面積

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求曲線的普通方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)（平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)）作直線交曲線于， 兩點(diǎn)，若恰好為線段的三等分點(diǎn)，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）當(dāng)三棱錐C﹣PBD的體積等于 時(shí)，求PA的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】美國制裁中興，未來7年一顆芯片都不賣，這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司甲，乙，丙三個(gè)研發(fā)小組分別研發(fā)，，三種不同的芯片，現(xiàn)在用分層抽樣的方法從這些芯片中抽取若干件進(jìn)行質(zhì)量分析，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：件）.

芯片

數(shù)量

抽取件數(shù)

200

600

400

2

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在這抽出的樣品中隨機(jī)抽取2件送往某機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件芯片來自不同種類的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）若EF⊥PC，求證：平面PAB⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上且不與點(diǎn)，重合，直線與由，，三點(diǎn)所確定的平面相交，交點(diǎn)為．

（1）若為的中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；

（2）若，求的長度，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向

圓作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線的斜率存在，并記為，求的值；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

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