Question

已知函數

（I）求函數的極值；

（II）對于函數和定義域內的任意實數,若存在常數,使得不等式和都成立,則稱直線是函數和的“分界線”．

設函數，，試問函數和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）,無極大值；（II）函數和存在“分界線”，方程為．

【解析】

試題分析：（I）首先求函數的定義域，解方程得可能的極值點，進一步得的單調性，最后根據導函數在零點附近的變號情況求的極值；（II）函數和的圖象在處有公共點.設函數和存在“分界線”，方程為，由對任意恒成立，確定常數，從而得“分界線”的方程為，再證明在時也恒成立，最后確定函數和的“分界線”就是直線．

試題解析：（I）．    

令得，

所以在上單調遞減，上單調遞增，      

又，   

所以,無極大值.  

（II）由（I）知，

所以函數和的圖象在處有公共點.  

設函數和存在“分界線”，方程為，

應有對任意恒成立，即在時恒成立，

于是，得，

則“分界線”的方程為．        

記，則

令得，所以在上單調遞增，上單調遞減，

當時，函數取得最大值，即在時恒成立.  

綜上所述，函數和存在“分界線”，方程為  ……

考點：1、應用導數求函數極值（最值）；2、應用導數研究函數的性質．