Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，四邊形BCC₁B₁是邊長為4的正方形，直線AB與平面ACC₁A₁所成角的正切值為2，點D為棱AA₁上的動點．
（I）當(dāng)點D為何位置時，CD⊥平面B₁C₁D？
（II）當(dāng)AD=2

2

時，求二面角B₁-DC-C₁的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)點D為AA₁中點時，CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）當(dāng)AD=2

2

時，求出平面CDB₁的法向量和平面DCC₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角B₁-DC-C₁的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得BC=BB₁=4，tan∠BAC=

BC

AC

=2，∴AC=2，
設(shè)AD=t，0≤t≤4時，CD⊥平面B₁C₁D，
則C（0，0，0），D（2，0，t），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4），

CD

=（2，0，t），

C1B1

=（0，4，0），

C1D

=（2，0，t-4），
則

CD • C1B1 =0 CD • C1D =4+t(t-4)=0

，解得t=2，
∴當(dāng)點D為AA₁中點時，CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）當(dāng)AD=2

2

時，D（2，0，2

2

），C（0，0，0），
B₁（0，4，4），

CD

=（2，0，2

2

），

CB1

=（0，4，4），
設(shè)平面CDB₁的法向量為

n

=（x，y，z），

n • CD =2x+2 2 z=0 n • CB1 =4y+4z=0

，取y=1，得

n

=（

2

，1，-1），
又平面DCC₁的法向量

m

=（0，1，0），
設(shè)二面角B₁-DC-C₁的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角B₁-DC-C₁的大小為

π

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．