Question

設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．設(shè)b_n=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；　　
（2）若c₁=1，，求證：c_n＜3．

Answer 1

（1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，則，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n==2ⁿ，則b_n==n；
（2）證明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n==，
當(dāng)n≥2時，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+++…+③，
∴c_n=+++…+④，
③-④得：
==．
∴＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．
分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，由已知條件列方程組求出等比數(shù)列的首項和公比，則等比數(shù)列{a_n}的通項公式可求，代入b_n=log₂a_n可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）把求出的a_n和b_n代入，把c_n寫成c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁，各項代入后利用錯位相減法求c_n，c_n求出后即可得到結(jié)論．
點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的遞推式，訓(xùn)練了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，屬中檔題．