Question

過x軸上的動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩切線AP，AQ．P，Q為切點．
（I）求切線AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求證直線PQ過定點；
（III）若a≠0，試求

S△APQ

|OA|

的最小值．

Answer 1

分析：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可得，KAP=

y1

x1-a

=

x 2 1 +1

x1-a

，由導數(shù)的幾何意義可得，K_AP=2x₁

x 2 1 +1

x1-a

=2x1，解方程可得切點，進而可求切線方程
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．
（Ⅲ）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由引入手能夠推導出

AQ

•

AP

的最小值

解答：解：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由題意可得，KAP=

y1

x1-a

=

x 2 1 +1

x1-a

，由導數(shù)的幾何意義可得，K_AP=2x₁
∴

x 2 1 +1

x1-a

=2x1
整理可得x₁²-2ax₁-1=0，同理可得x₂²-2ax₂-1=0
從而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的兩根
∴x=a±

1+a2

，KAP=2(a+

1+a2)

，KAQ=2(a-

1+a2

)
故可得切線AP方程為：y=2(a+

1+a2

)(x-a)，切線AQ的方程y=2(a-

1+a2

)(x-a)
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）
（Ⅲ）聯(lián)立

y=2ax+2 y=x2+1

可得x²-2ax-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
，則x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1
∴PQ=

1+4a2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+4a2

•

4a2+4

點A（a，0）到直線PQ的距離d=

|2a2+2|

1+4a2

∴S△APQ=

1

2

PQ•d=

1

2

•

2|a2+1|

1+4a2

•

1+4a2

•

4a2+4

=2(1+a2)

1+a2

∴

S△APQ

|OA|

=

2(1+a2) 1+a2

|a|

令

1+a2

=t則t＞1
F（t）=

2t3

t2-1

，則令g（t）=F²（t）=

4t6

t2-1

（t＞1）
g′(t)=

12t5(t2-1)-2t6( t2-1)′

(t2-1)2

=

2t5(5t2-12)

(t2-1)2

（t＞1）
當t＞ 

12 5

時，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，即F（t）單調(diào)遞增
當1＜t＜

12 5

時，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，即F（t）單調(diào)遞減
∴當t=

12 5

時，函數(shù)F（t）有最小值

48 21

35

即

S△APQ

|OA|

的最小值

48 21

35

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．解決這一類型題目的常用做法是把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，再結(jié)合根于系數(shù)的關系求出交點坐標之間的關系．