Question

在△ABC中，已知BC=2，=1，則△ABC面積的最大值是________．

Answer 1

分析：根據(jù)=1，及向量的數(shù)量積的定義式得到cosA=1，兩邊平方得到1=AB²AC²cos²A，根據(jù)三角形的面積公式S=|AB||AC|sinA，兩邊平方，兩式相加，得到1+4S²=AB²AC²，根據(jù)余弦定理和基本不等式即可求得三角形面積的最大值．
解答：∵=1，∴cosA=1
∴1=AB²AC²cos²A（1）
又∵S=|AB||AC|sinA
∴4S²=AB²AC²sin²A（2）
（1）+（2）得：1+4S²=AB²AC²（cos²A+sin²A）
即1+4S²=AB²AC²
由題知：=-，
∴BC²=AC²-2+AB²=AC²+AB²-2
∵BC=2，
∴AC²+AB²=6
由不等式：AC²+AB²≥2AC•AB 當(dāng)且僅當(dāng)，AC=AB時(shí)，取等號(hào)
∴6≥2AC•AB
即AC•AB≤3
∴1+4S²=AB²AC²《9
∴4S²≤8，即：S²≤2
∴S≤，所以△ABC面積的最大值是：．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查向量在幾何中的應(yīng)用和向量的數(shù)量積的定義式，以及余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，綜合性強(qiáng)，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力．