Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}，前三項(xiàng)之積為512，且這三項(xiàng)分別減去1，3，9后又成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：根據(jù)前三項(xiàng)之積為512，利用等比數(shù)列性質(zhì)算出a₂=8．設(shè)公比為q，由a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差數(shù)列，建立關(guān)于q的方程并解出q的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式加以計(jì)算，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)之積為512，∴a₁a₂a₃=

a2

q

•a₂•a₂q=（a₂）³=512，解之得a₂=8
又∵這三項(xiàng)分別減去1，3，9后又成等差數(shù)列，
∴a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差數(shù)列，得（a₁-1）+（a₃-9）=2（a₂-3）
即：

a2

q

-1+a₂q-9=2a₂-6，即

8

q

+8q-10=10
化簡(jiǎn)得2q²-5q+2=0，解得q=2或q=

1

2

，
∵等比數(shù)列{a_n}是遞增，可得q＞1，
∴q=2，得a₁=

a2

q

=4，可得等比數(shù)列通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等比數(shù)列滿足的條件，求它的通項(xiàng)公式，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)和等差中項(xiàng)的定義等知識(shí)，屬于中檔題．