設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an2﹣2nan+2,n∈N*.
(1)求出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試求使得2n>Sn成立的最小正整數(shù)n,并給出證明.
(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1;(2)n=6.
【解析】
試題分析:
解題思路:(1)先由遞推公式求,再猜想通項(xiàng)公式;(2)先進(jìn)行猜想驗(yàn)證,再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
規(guī)律總結(jié):歸納推理是合情推理的一種,對(duì)數(shù)學(xué)定理、結(jié)論的求解起到非常重要的作用;此類題型的關(guān)鍵是通過已知的項(xiàng),發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的規(guī)律與聯(lián)系,進(jìn)而提出猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
試題解析:(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n,
使得成立的最小正整數(shù)n=6.
下證:n≥6(n∈N*)時(shí)都有2n>n2+2n.
①n=6時(shí),26>62+2×6,即64>48成立;
②假設(shè)n=k(k≥6,k∈N*)時(shí),2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時(shí),不等式成立;
由①、②可得,對(duì)于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2+2n成立.
考點(diǎn):1.歸納推理;2.數(shù)學(xué)歸納法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省原名校高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
己知函數(shù),其中
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線x-y-l=0是曲線y=的切線,求實(shí)數(shù)的值;
(3)設(shè),求g(x)在區(qū)間上的最大值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知實(shí)數(shù)滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省石家莊市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)不等式|2x﹣1|<1的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,求證:ab+1>a+b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省石家莊市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
曲線y=x2﹣1與直線x+y=1圍成的圖形的面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省石家莊市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)(x﹣)6的展開式中x3的系數(shù)為a,二項(xiàng)式系數(shù)為b,則的值為( ).
A. B. C.16 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省石家莊市五校聯(lián)合體高三上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省唐山市高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)且的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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