Question

棱長(zhǎng)為a的正方體AC1中，設(shè)M、N、E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：E、F、B、D四點(diǎn)共面；
（2）求證：面AMN∥面EFBD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）只要證明EF∥BD即可；
（2）利用面面平行的判定定理，只要判斷EF∥MN，F(xiàn)B∥AN，即可．

解答： 證明：（1）因棱長(zhǎng)為a的正方體AC1中，設(shè)E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn)，
所以EF∥B₁D₁，
又B₁D₁∥BD，
所以EF∥BD，
所以E、F、B、D四點(diǎn)共面；
（2）因?yàn)镸、N、E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
所以EF∥B₁D₁∥MN，
即EF∥MN，
連接FN，由四邊形A₁B₁FN是平行四邊形，

所以FN∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
所以FN∥AB，F(xiàn)N=AB，
所以FB∥AN，又EF∩FB=F，MN∩AN=N，
所以面AMN∥面EFBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了以正方體為載體的四點(diǎn)共面以及面面平行的判定，關(guān)鍵是正確利用正方體的性質(zhì)以及已知為面面平行創(chuàng)造條件．