Question

已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)b=0時，若f（x）在（﹣∞，2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數(shù)對（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）對滿足（2）中的條件的整數(shù)對（a，b），試構(gòu)造一個定義在D={x|x∈R且x≠2k，k∈Z}上的函數(shù)h（x），使h（x+2）=h（x），且當(dāng)x∈（﹣2，0）時，h（x）=f（x）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=0時，f（x）=ax²﹣4x，
若a=0，f（x）=﹣4x，則f（x）在（﹣∞，2]上單調(diào)遞減，符合題意；
若a≠0，要使f（x）在（﹣∞，2]上單調(diào)遞減，必須滿足
∴0＜a≤1．
綜上所述，a的取值范圍是[0，1]
（2）若a=0，，則f（x）無最大值，故a≠0，
∴f（x）為二次函數(shù)，要使f（x）有最大值，必須滿足
即a＜0且，
此時，時，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時，x₀=a，
依題意，有，則
，
∵a＜0且，
∴，得a=﹣1，
此時b=﹣1或b=3．
∴滿足條件的整數(shù)對（a，b）是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．
（3）當(dāng)整數(shù)對是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）時，f（x）=﹣x²﹣2x
∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又當(dāng)x∈（﹣2，0）時，h（x）=f（x），構(gòu)造h（x）如下：
當(dāng)x∈（2k﹣2，2k），k∈Z，則
h（x）=h（x﹣2k）=f（x﹣2k）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），
故h（x）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k∈Z．