Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，[m，n），（m，n]的長度均為n-m，其中n＞m，已知關(guān)于x的不等式組

6 x+1 ＞1 log2x+log2(tx+t)＜log230

的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為5，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

A．（0，1]

B．[1，+∞）

C．（0，5]

D．[5，+∞）

Answer 1

分析：先解關(guān)于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，5），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為5，寫出不等式組進(jìn)行討論，得到結(jié)果．

解答：解：先解不等式

6

x+1

＞1，整理得

5-x

x+1

＞0，即（x+1）•（x-5）＜0，
所以不等式

6

x+1

＞1 的解集A=（-1，5）
設(shè)不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂30 的解集為B，則不等式組的解集為A∩B．
不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂30  等價于 

x＞0 tx+t＞0 tx2+tx-30＜0

．
又A∩B⊆（0，5），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，所以不等式組

tx+t＞0 tx2+tx-30＜0

，當(dāng)x∈（0，5）時，恒成立．   
當(dāng)x∈（0，5）時，不等式tx+t＞0恒成立，得t＞0．①（13分）
當(dāng)x∈（0，5）時，不等式tx²+tx-30＜0恒成立，即 t＜

30

x2+x

 恒成立．    
而當(dāng)x∈（0，5）時，

30

x2+x

的取值范圍為 （1，+∞），所以實(shí)數(shù) t≤1，②
綜合①②可得，t的取值范圍為 （0，1]，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進(jìn)行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必出的．