Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若2xlnx≤2mx²-1在[1，e]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a進(jìn)行討論，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最大值，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得
當(dāng)a＜0時，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a≥0時，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．        …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx²-1，得到
令函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，可得
a=-1時，，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）≥f（1）=1，即，∴≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在[1，e]上的最大值為
∴在[1，e]上，若恒成立，則．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值．