Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，求證：
（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判定即可；
（Ⅱ）利用取值、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論這五步進(jìn)行證明，主要利用通分和提取公因式進(jìn)行變形．

解答：證明：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f(x)=x-

1

x

，f(-x)=(-x)-

1

(-x)

=-x+

1

x

=-(x-

1

x

)，
∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x2

-

1

x1

)=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)=(x1-x2)•

x1x2+1

x1x2

，
∵x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定，以及單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法和導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．要求熟練掌握常見證明函數(shù)單調(diào)性的方法．屬于基礎(chǔ)題．