選修4-4：在極坐標(biāo)系中，已知直線l：ρcos（θ+）=，圓C：ρ=4cosθ，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
【答案】分析：將直線l：ρcos（θ+）=化成直角坐標(biāo)方程為：x-y-3=0，再將圓C：ρ=4cosθ化為直角坐標(biāo)形式：（x-2）2+y2=4，得到圓C是以點(diǎn)C（2，0）為圓心，半徑為2的圓．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)C到直線l的距離d，最后用垂徑定理得到直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)，即得正確答案．
解答：解：直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ+）=，可以化為ρ（cosθcos-sinθsin）=，
∵cos=sin=，
∴直線l的極坐標(biāo)方程化成最簡(jiǎn)形式為ρcosθ-ρsinθ=3，
∵直角坐標(biāo)系中x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y-3=0，
而對(duì)于圓C：ρ=4cosθ，兩邊都乘以ρ得ρ2=4ρcosθ，
將ρ2=x2+y2和x=ρcosθ代入上式，得x2+y2=4x，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：（x-2）2+y2=4，
所以圓C是以點(diǎn)C（2，0）為圓心，半徑為2的圓．
由點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)C到直線l的距離為：d=，
根據(jù)垂徑定理，l被圓C截得弦長(zhǎng)的一半為：，
所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2×=
點(diǎn)評(píng)：本題在極坐標(biāo)系中給出一條直線和一個(gè)圓，來求直線被圓截得的弦長(zhǎng)，考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•福建模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，沿x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是
x=-3+
3
2
t
y=
1
2
t
（t為參數(shù)），M、N分別為曲線C、直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）（選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，則極點(diǎn)到該直線的距離是
2
2
2
2
．
（2）（選修4-5 不等式選講）
已知lga+lgb=0，則滿足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ的實(shí)數(shù)λ的范圍是
[1，+∞）
[1，+∞）
．
（3）（選修4-1 幾何證明選講）
如圖，兩個(gè)等圓⊙O與⊙O′外切，過O作⊙O′的兩條切線OA，OB，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O′上且不與點(diǎn)A，B重合，則∠ACB=
60°
60°
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直接坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為

．

（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；

（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案