Question

4．對(duì)于函數(shù)f（x）=x圖象上的任一點(diǎn)M，在函數(shù)g（x）=lnx上都存在點(diǎn)N（x₀，y₀），使以線段MN為直徑的圓都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則x₀必然在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（　　）

• A． （$\frac{1}{{e}^{3}}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 以線段MN為直徑的圓都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得xx₀+xlnx₀=0，構(gòu)造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（x，x），則
∵以線段MN為直徑的圓都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴xx₀+xlnx₀=0，
∴x₀+lnx₀=0，
構(gòu)造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，
∴x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．