Question

已知z∈C，z+2i 和 都是實數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+ai）² 在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡等式，利用復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件求出a，b的值，即得復(fù)數(shù)z．
（2）化簡式子，利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系列出不等式組，解不等式組求得實數(shù)a 的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z+2i=a+（b+2）i，
，
∵z+2i 和 都是實數(shù)，∴，解得，∴z=4-2i．
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i，
∵（z+ai）² 在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，∴，
即，∴，∴-2＜a＜2，即實數(shù)a 的取值范圍是（-2，2）．
點評：本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，
式子的變形是解題的難點．