Question

（本小題滿分12分）
已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）證明：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

略

   解法一：


（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164819675254.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以是在平面內(nèi)的射影，… 2 分
由條件可知，
所以． ………………… 4 分
（Ⅱ）證明：設(shè) 的中點(diǎn)為，
連接，．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164819909210.gif" style="vertical-align:middle;" />，分別是，的中點(diǎn)，
所以．
又=，，
所以．
所以四邊形是平行四邊形．
所以．    …………………6 分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164819940258.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面． …………… 8 分
（Ⅲ）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164820689252.gif" style="vertical-align:middle;" />底面，
所以底面．
在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)做，垂足為．
連接，則．
所以是二面角的平面角．         ………………… 10 分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164820626368.gif" style="vertical-align:middle;" />==2，
由∽，得=．
所以==．
所以==．
二面角的余弦值是．              ………………… 12 分
解法二：
依條件可知，，兩兩垂直．
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：
，，，
，，，
，．
（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164821687526.gif" style="vertical-align:middle;" />，
，
所以．             ………………… 2分
所以．
即．                                 ………………… 4 分
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164821828633.gif" style="vertical-align:middle;" />，是平面的一個(gè)法向量，
且，所以．          ………6 分
又平面，
所以平面．                         ………………… 8 分
（Ⅲ）設(shè)是平面的法向量，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823164822093540.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
由得解得平面的一個(gè)法向量．
由已知，平面的一個(gè)法向量為．    ………………… 10 分
設(shè)二面角的大小為， 則==．
二面角的余弦值是．                  ………………… 12 分