Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1上有一點(diǎn)P（1，

3

2

），點(diǎn)M，N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線PM的斜率與直線PN的斜率互為相反數(shù)時(shí)，直線MN的斜率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的斜率

專題：計(jì)算題,綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AM方程代入橢圓方程，利用點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，可求M的坐標(biāo)，利用直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，可求N的坐標(biāo)，從而可得直線MN的斜率，問題得解．

解答： 解：設(shè)直線AM方程：得y=k（x-1）+

3

2

，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）2-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，
所以x₁=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

-k．
又直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

+k．
所以直線MN的斜率k_MN=

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．
即直線MN的斜率為定值，其值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．