Question

已知函數(shù)f（x）=（ x-1）²，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，且對一切自然數(shù)n，均有++…+=a_n+1，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵，∴．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4•（-2）^n-1．
（Ⅱ）由題設知 ，∴c₁=a₂b₁=8．
當n≥2時，++…+=a_n+1，，
兩式相減，得 ．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．
∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+=3²ⁿ⁺¹+5．
即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．
∴==3
分析：（Ⅰ）由題意知d²-（d-2）²=2d，解得d=2．所以a_n=2（n-1）．再由 ，知 ．由此能夠導出b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由題設知 ，c₁=2．所以 ，，由此能夠推導出S_2n+1，S_2n．
點評：本題考查數(shù)列的性質及其應用，解題時要注意公式的靈活運用，同時考查了數(shù)列的極限，屬于中檔題．