Question

已知函數(shù)f(x)＝(ax＋1)ex.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值．

 

Answer 1

（1）見解析

（2）當a>1時，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為－a·；

當0<a≤1時，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為.

【解析】【解析】
依題意，函數(shù)的定義域為R，

f′(x)＝(ax＋1)′ex＋(ax＋1)(ex)′＝ex(ax＋a＋1)．

(1)①當a＝0時，f′(x)＝ex>0，

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；

②當a>0時，由f′(x)>0，解得x>－，

由f′(x)<0，解得x<－，

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，＋∞)，

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－)；

③當a<0時，由f′(x)>0，解得x<－，

由f′(x)<0解得，x>－，

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，＋∞)．

(2)①當時，)上是減函數(shù)，

在(－，0)上是增函數(shù)，

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為f(－)＝－a·；

②當時，即當0<a≤1時，f(x)在[－2,0]上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為f(－2)＝.

綜上，當a>1時，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為－a·；

當0<a≤1時，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為.