Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）在曲線C₁上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把曲線C₁的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)點P（

3

cosθ，2sinθ），求得點P到直線l的距離為d=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，利用正弦函數(shù)的值域求得d的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）直線l的方程為：ρ（2cosθ-sinθ）=6，即 2x-y-6=0．
曲線C₁的參數(shù)方程為：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），普通方程為

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設(shè)點P（

3

cosθ，2sinθ），
則點P到直線l的距離為d=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，
故當(dāng)sin（

π

3

-θ）=-1時，d取得最大值為2

5

．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．