Question

（2013•奉賢區(qū)一模）若對于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ-伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“λ-伴隨函數(shù)”；
②f（x）=x不是“λ-伴隨函數(shù)”；
③f（x）=x²是“λ-伴隨函數(shù)”；
④“

1

2

-伴隨函數(shù)”至少有一個零點．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。﹤�．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①、設(shè)f（x）=C則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，可判斷①；
②、假設(shè)f（x）=x是一個“λ-同伴函數(shù)”，則x+λ+λx=0，則有λ+1=λ=0，解方程可判斷②；
③、假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷③；
④、令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））2＜0．可得f（x）在（0，

1

2

）上必有實根，可判斷④

解答：解：①、設(shè)f（x）=C是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數(shù)”，故①錯誤
②、假設(shè)f（x）=x是一個“λ-同伴函數(shù)”，則x+λ+λx=0對任意實數(shù)x成立，則有λ+1=λ=0，而此式無解，所以f（x）=x不是“λ-伴隨函數(shù)”，故②正確；
③、假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數(shù)”．故③錯誤
④、令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0．所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實數(shù)根．
因此任意的“

1

2

-同伴函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

-同伴函數(shù)”至少有一個零點．故④正確．
故答案為：B．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．