Question

（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點．

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）. 

【解析】

試題分析：（I）先求導函數(shù)，然后根據(jù)x=2是f（x）的一個極值點建立等式關(guān)系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（II）先利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，若當x∈[1，3]時，要使f(x)-a²＞

恒成立，只需f(x) _min＞a²+，即可求出a的范圍．

解：（Ⅰ）.     ∵是的一個極值點，

∴是方程的一個根，解得.  

令，則，解得或.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

（Ⅱ）∵當時，時，

∴在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增.  

∴是在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 . 

若當時，要使恒成立，只需，

即，解得 . 

考點：本題主要考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題

點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用極值點處導數(shù)為零，那么得到參數(shù)b的值，然后求解二次不等式同時能將不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)換為求解函數(shù)的最小值大于參數(shù)問題。即f(x) _min＞a²+體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸思想的和運用。