Question

矩形ABCD與矩形ABEF有公共邊AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如圖，又FD=2，．
（1）證明AE⊥平面FCB．
（2）求異面直線BD與AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中點(diǎn)，在線段FD上是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面FCB？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）證明：∵矩形ABCD與矩形ABEF有公共邊AB，平面ABCD⊥平面ABEF，可得BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AE．
又FD=2，，∴AF===EF，∴矩形ABEF為正方形，∴AE⊥BF．
而B(niǎo)C、BF是平面FCB內(nèi)的兩條相交直線，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵=，平方可得 1=4+3+6+2 +2+2，
即 1=13+0+2×2cos+2××cos135°，
故 有 cos==-，∴異面直線BD與AE所成角的余弦值 ．
（3）分別取P，Q為DC及AF的中點(diǎn)，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，從而N為平面MPQ與FD的交點(diǎn)，易知N為FD的中點(diǎn)，
故在線段FD上存在中點(diǎn)N，使得MN∥平面FCB成立．
分析：（1）根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面ABEF，可得 BC⊥AE，再證明矩形ABEF為正方形，可得 AE⊥BF，由直線和平面平行的判定定理證得AE⊥平面FCB．
（2）由于 =，平方利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得cos=-，從而得到異面直線BD與AE所成角的余弦值 ．
（3）分別取P，Q為DC及AF的中點(diǎn)，可證平面MPQ∥平面FBC，從而N為平面MPQ與FD的交點(diǎn)，易知N為FD的中點(diǎn)，由此得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，證明線面垂直的方法，異面直線所成的角的定義和求法，直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．