Question

設(shè)F₁、F₂是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且tan∠PF₂F₁=2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：利用向量知識(shí)，確定△OPF₂是等腰三角形，進(jìn)而判斷△PF₁F₂是直角三角形，PF₁⊥PF₂，利用tan∠PF₂F₁=2，確定幾何量之間的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率．
解答：解：由已知，∵，
∴|0P|=|OF₂|，
∴△OPF₂是等腰三角形
連接PF₁，則OP=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是直角三角形，PF₁⊥PF₂，
設(shè)|PF₂|=x，∵tan∠PF₂F₁=2，
∴|PF₁|=2x，
∴|F₁F₂|=x=2c，
由雙曲線定義，|PF₁|-|PF₂|=x=2a
∴雙曲線的離心率為==
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，確定幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．