Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在與軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足．
（1）求；
（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；
（3）設(shè)，若對(duì)于一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，由，知其對(duì)稱(chēng)軸，曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率)列出方程組求解；（2），畫(huà)出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對(duì)的值分類(lèi)討論求出其最大值；（3）對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得恒成立，即，且，對(duì)任意的成立，然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意，從而有.
試題解析：（1），∵，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，             2分
∵曲線(xiàn)在與軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為，∴切點(diǎn)為，
∴，解得，則                5分
（2）∵，
∴，其圖象如圖                      7分
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，

綜上                                  10分
（3），，
當(dāng)時(shí)，，所以不等式等價(jià)于恒成立，
解得，且，                                            13分
由，得，，所以，
又，∵，∴所求的實(shí)數(shù)的的取值范圍是       16分