已知橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點為F1（-，0），而且過點H（，）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為G．證明：線段OT的長為定值．

【答案】分析：（1）利用橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點為F1（-，0），而且過點H（，），建立方程，即可求得橢圓E的方程；
（2）先計算|OM|•|ON|，再利用切割線定理可得線段OT的長度．
解答：（1）解：由題意，得：，∴
∴橢圓E的方程為；
（2）證明：由（1）可知A1（0，1），A2（0，-1），設(shè)P（x，y），
直線PA1：y-1=x，令y=0，得xN=；
直線PA2：y+1=x，令y=0，得xM=；
則|OM|•|ON|=||×||=，
∵，
∴|OM|•|ON|=4，由切割線定理得|OT|2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，認(rèn)真審題，挖掘隱含是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河南省洛陽市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    已知橢圓E：（a>b>0）的離心率e＝，左、右焦點分別為F1、F2，點P（2,），點F2在線段PF1的中垂線上

   （1）求橢圓E的方程；

   （2）設(shè)l1，l2是過點G（，0）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A， B兩點，l2交E于C，D兩點，求l1的斜率k的取值范圍；

   （3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，試問直線MN是否恒過定點?

若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為數(shù)學(xué)公式，直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點A，B．
（Ⅰ）若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若線段AB上存在點P滿足|PF1+PF2|=2a，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為數(shù)學(xué)公式，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面積為數(shù)學(xué)公式，設(shè)斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 數(shù)學(xué)公式≤數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式≤數(shù)學(xué)公式，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西省同步題 題型：解答題

已知橢圓E：（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為，A（﹣a，0），
B（0，b），且△ABF的面積為，設(shè)斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 ≤·≤，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年福建省漳州市漳浦縣道周中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓E：（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F1M⊥F2N，圓C是以MN為直徑的圓，其面積為S，求S的最小值以及當(dāng)S取最小值時圓C的方程．

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